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Número primo é um número natural que pode ser dividido (deixa resto zero) apenas por dois números naturais, o 1 (um) e ele mesmo. Por exemplo, o número 3 é um número primo pois seus dois únicos divisores naturais são 1 e 3. Uma definição alternativa é que o número primo é todo número que possui somente quatro divisores inteiros. Por exemplo, o 2 possui como divisores {1, 2, -1, -2}, totalizando quatro divisores inteiros, sendo então um número primo. Com essa definição, excluímos o 1, pois esse possui como divisores apenas 1 e -1, sendo insuficiente pela definição. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é composto. Os números 0 e 1 não são considerados primos nem compostos.

O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).

Os 25 primeiros números primos são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...

Exemplos de decomposições:

$4 = 2 times 2$
$6 = 2 times 3$
$8 = 2 times 2 times 2$
$9 = 3 times 3$
$10 = 2 times 5$
$472.342.734.872.390.487 = 3 times 7 times 827 times 978.491 times 27.795.571$

Os átomos da aritmética

Os gregos foram os primeiros a perceber que todo número podia ser gerado pela multiplicação de números primos, este blocos de construção para todos os números. A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de 1 a 1000. Em seguida escolhia o primeiro primo, 2, e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Erastótenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes.

Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número $N$ era primo: calcule $2$ elevado a potência $N$ e divida-o por $N$ , se o resto for $2$ , então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular $2 N$ em um relógio com $N$ horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até $340$ , mas falha para $341 = 11 times 31$ . Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como $2341$ .

Teoremas dos números primos

O Wikilivros possui livros e publicações sobre: Teoria de números/Números primos#Teorema de Euclides

Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:

O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
Dado um número natural $n$ , qual é a proporção de números primos entre os números menores que $n$ ?

A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:

Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam $p_1, p_2, p_3, ..., p_n$ os primos. Seja

P

o número tal que

P

= $prod_{i=1}^n p_i + 1,$ onde $prod$ denota o produtório.

P

é um número primo, é necessariamente diferente dos primos $p_1, p_2, p_3, ..., p_n$ , pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.

Por outro lado, se

P

é composto, existe um número primo

q

tal que

q

é divisor de

P

Mas obviamente $q ne p_1,; p_2,; ...,; p_n.$ Logo existe um novo número primo.

Há um novo número primo, seja

P

primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.

Uma outra prova envolve considerar um número inteiro

n > 1

. Temos

n + 1

que, necessariamente, é coprimo de

n

(números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto

n

e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim,

n (n + 1)

tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.

Tomemos o sucessor deste, que representamos como

n (n + 1) + 1

. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a

n (n + 1)

. Ao multiplicar os dois números, temos

[n (n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]

. Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.

A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente $frac{n}{ln (n)}$ , onde $ln$ é o logaritmo natural.

Para qualquer inteiro k, existem k inteiros consecutivos todos compostos.

O produto de qualquer sequencia de k inteiros consecutivos é divisivel por k!

Se k nao é primo, entao k possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a $sqrt{k}$ .

Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira unica como o produto de fatores primos

Grupos e sequências de números primos

Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma $4 n + 1$ , tal como 5,13,17,29,37,41, etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:

5 = 1 2 + 2 2,

13 = 2 2 + 3 2,

17 = 1 2 + 4 2,

29 = 2 2 + 5 2,

37 = 1 2 + 6 2,

41 = 4 2 + 5 2 .

Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:

$(4 n + 1)$ - que podem sempre ser escritos na forma (

x 2 + y 2

) e $(4 n - 1)$ - nunca podem ser escritos na forma (

x 2 + y 2

Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos mas 333.333.331 não é, pois (333.333.331 = 17 x 19.607.843).

Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número 370.261 é seguido de onze números compostos e não existem primos entre os números 20.831.323 e 20.831.533. Uma das razões desta irregularidade nas distribuição dos números primos é que não existe uma fórmula matemática que produza todos os números primos. Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo $x 2 - x + 41$ fornece primos quando $x=0, 1, 2, ..., 79$ .

Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de $x$ , de fato em 1.752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em $x$ com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de $x$ .

Não se sabe se há uma expressão polinomial $a x 2 + b c + c$ com $a ne 0$ que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se $a$ , $2 b$ e $c$ não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis

a x 2 + 2 b x y + c y 2

representa infinitos primos, quando $x$ e $y$ assumem valores positivos inteiros.

Fermat pensou que a fórmula $2^{2^n} + 1$ forneceria números primos para $n = 0, 1, 2, ...$ . Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por $F n$ . Os cinco primeiros números são:

$F_0 = 3,; F_1 = 5,; F_2 = 17,; F_3 = 257; e ;F_4 = 65.537$ ,

sendo todos primos.

Maior número primo

Atualmente o maior número primo encontrado é $2 32.582.657 - 1$ descoberto pelo time de colaboradores formado pelos doutores Curtis Cooper e Steven Boone no dia 4 de setembro de 2006, num projeto de computação distribuída pela Internet, que usa o tempo ocioso do processador de computadores pessoais, procurando por números primos específicos, do tipo $2 p - 1$ , em que $p$ é primo, chamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado é o primo de Mersenne de número 44 e tem 9.808.358 dígitos.